Question

【题目】已知f（x）=ax3﹣3x2+1（a＞0），定义h（x）=max{f（x），g（x）}= ．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若g（x）=xf'（x），且存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），求实数a的取值范围；
（3）若g（x）=lnx，试讨论函数h（x）（x＞0）的零点个数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函数f（x）=ax3﹣3x2+1，

∴f'（x）=3ax2﹣6x=3x（ax﹣2）

令f'（x）=0，得x1=0或 ，∵a＞0，∴x1＜x2，

列表如下：

x	（﹣∞，0）	0
f'（x）	+	0	﹣	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为

（2）解：g（x）=xf'（x）=3ax3﹣6x2，∵存在x∈[1，2]使h（x）=f（x），

∴f（x）≥g（x）在x∈[1，2]上有解，即ax3﹣3x2+1≥3ax3﹣6x2在x∈[1，2]上有解，

即不等式 在x∈[1，2]上有解，

设 ，∵ 对x∈[1，2]恒成立，

∴ 在x∈[1，2]上单调递减，∴当x=1时， 的最大值为4，

∴2a≤4，即a≤2

（3）解：由（1）知，f（x）在（0，+∞）上的最小值为 ，

①当 ，即a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上无零点

②当 ，即a=2时，f（x）min=f（1）=0，又g（1）=0，

∴h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有一个零点

③当 ，即0＜a＜2时，设φ（x）=f（x）﹣g（x）=ax3﹣3x2+1﹣lnx（0＜x＜1），

∵ ，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，

又 ，∴存在唯一的 ，使得φ（x0）=0．

Ⅰ．当0＜x≤x0时，

∵φ（x）=f（x）﹣g（x）≥φ（x0）=0，∴h（x）=f（x）且h（x）为减函数，

又h（x0）=f（x0）=g（x0）=lnx0＜ln1=0，f（0）=1＞0，∴h（x）在（0，x0）上有一个零点；

Ⅱ．当x＞x0时，

∵φ（x）=f（x）﹣g（x）＜φ（x0）=0，∴h（x）=g（x）且h（x）为增函数，

∵g（1）=0，∴h（x）在（x0，+∞）上有一个零点；

从而h（x）=max{f（x），g（x）}在（0，+∞）上有两个零点

综上所述，当0＜a＜2时，h（x）有两个零点；当a=2时，h（x）有一个零点；当a＞2时，h（x）有无零点

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为不等式 在x∈[1，2]上有解，根据函数的单调性求出a的范围即可；（3）通过讨论a的范围结合函数的单调性判断函数的零点个数即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．