Question

【题目】已知函数，．

求证：对恒成立；

若，若，，求证：

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】

（1）先对不等式左边进行化简整理，然后将整理后的表达式设为函数，对函数进行一阶导数和二阶导数的分析，得到在上单调递增，则当时，命题得证．

（2）先对整理后的进行一阶导数的分析，画出函数大致图象，可知，然后采用先取对数然后作差的方法比较大小，关键是构造对数平均数，利用对数平均不等式即可证明．

证明：由题意，可知

．

令，则

，，

当时，，

在上单调递增．

当时，，

在上单调递增．

当时，．

故命题得证．

由题意，，．

，．

令，解得；

令，解得；

令，解得．

在上单调递减，在上单调递增，

在处取得极小值．

大致图象如下：

根据图，可知，．

，，

根据对数平均不等式，有

，

．

，

．

故得证．