Question

【题目】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.

（1）求椭圆的方程；

（2）若椭圆的焦点在轴上，点为坐标原点，射线、分别与椭圆交于点、点，且，试判断直线与圆：的位置关系，并证明你的结论.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）直线与圆：相离.证明见解析

【解析】

（1）对椭圆的焦点位置进行分类讨论，并分别设出椭圆的标准方程，再根据离心率和椭圆过点，分别求出对应的标准方程；

（2）对点，分成在坐标轴上和不在坐标轴上两种情况分别求解，再利用点到直线的距离公式，判断直线与圆的位置关系即可.

（1）①当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为：，

由得，∴，

将点代入可得，，

∴椭圆的方程为：.

②当椭圆的焦点在轴上时，设椭圆的方程为：，

由可得，∴，

将点代入可得，，

∴椭圆的方程为：.

（2）直线与圆：相离，

由（1）知，椭圆的方程为：，

当，在坐标轴上时，容易求得直线与圆：相离；

当，不在坐标轴上时，设直线：，则直线：，

联立，可得，，∴，

联立，可得，，∴，

根据面积关系可得圆心到直线的距离的平方，

∴直线与圆：相离.