Question

18．求抛物线y²=4x上的点P与A（m，0）（m∈R）的距离d的最小值．

Answer 1

分析 先设P点坐标为（x，y），利用两点间的距离公式求出点P与点M的距离的表达式；再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点M的距离的最小值．

解答 解：设P点坐标为（x，y），
则d=|PM|=$\sqrt{（{x-m）}^{2}+（y-0）^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}-2mx+{m}^{2}}$
=$\sqrt{{x}^{2}+（4-2m）x+{m}^{2}}$（x≥0）
令t=x²+（4-2m）x+m²（x≥0）则其对称轴为x=m-2，
（1）当m-2＜0即m＜2时
t=x²+（4-2m）x+m²在x≥0时为增函数，
所以d_min=|m|=m．
（2）当m-2≥0即m≥2时，
t=x²+（4-2m）x+m²（x≥0）在（0，m-2）上递减，在（m-2，+∞）上递增，
所以：d_min=$\sqrt{{（m-2）}^{2}+（4-2m）（m-2）+{m}^{2}}$=$2\sqrt{m-1}$．
综上所述，当m＜2，点P与点M的距离的最小值为m；
当m≥2，点P与点M的距离的最小值为$2\sqrt{m-1}$．

点评 本题主要考查二次函数在固定区间上的最值求法．在求二次函数在固定区间上的最值时，一定要注意分对称轴在区间左边，对称轴在区间右边以及对称轴在区间中间三种情况来讨论，以免出错．