Question

11．在平面坐标系xOy中，抛物线y²=-2px（p＞0）的焦点F与双曲线x²-8y²=8的左焦点重合，点A在抛物线上，且|AF|=6，若P是抛物线准线上一动点，则|PO|+|PA|的最小值为（　　）

• A． 3$\sqrt{5}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 3$\sqrt{7}$
• D． 3$\sqrt{13}$

Answer 1

分析 由双曲线x²-8y²=8即$\frac{{x}^{2}}{8}-{y}^{2}$=1，可得左焦点F（-3，0），可得抛物线方程为：y²=-12x．由|AF|=6，点A在抛物线上，可得3-x_A=6，进而可得A（-3，6）．原点O关于直线x=3的对称点为O′（6，0）．可得|PO|+|PA|≥|AO′|，当且仅当三点A，P，O′共线时取等号即可得出．

解答 解：由双曲线x²-8y²=8即$\frac{{x}^{2}}{8}-{y}^{2}$=1，可得左焦点F（-3，0），
∴$\frac{p}{2}$=3，解得p=6．
∴抛物线方程为：y²=-12x．
准线方程为：x=3．
∵|AF|=6，点A在抛物线上，
∴3-x_A=6，
解得x_A=-3，代入抛物线方程可得：${y}_{A}^{2}$=36，解得y_A=±6．
取A（-3，6）．
设P（3，t）．
原点O关于直线x=3的对称点为O′（6，0）．
∴|PO|+|PA|≥|AO′|=$\sqrt{（-3-6）^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{13}$．当且仅当三点A，P，O′共线时取等号．
故选：D．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、轴对称问题，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．