Question

2．已知函数f（x）=e^x-$\frac{a}{2}$x²e^|x|．
（1）若f（x）在[0，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）关于x的方程ax+1+xlnx=f（x）+$\frac{a}{2}$x²e^x是否存在实根？若存在，请指出有几个实根，若不存在，请说明理由；
（3）求证：当a≥1时f（x）≤x+1．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调性，得到关于a的不等式组，解出即可；
（2）分离参数得：a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx（x＞0），令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），根据函数的单调性得到h（x）的最值，通过讨论a求出方程根的情况即可；
（3）当x≥0时，只需证明e^x≤$\frac{a}{2}$x²e^x+x+1，在x≤0时，只需证明e^x≤$\frac{a}{2}$x²e^-x+x+1，分别构造函数，根据函数的单调性证明即可．

解答 解：（1）∵x∈[0，+∞），∴f（x）=e^x（1-$\frac{a}{2}$x²），
∴f′（x）=e^x（-$\frac{a}{2}$x²-ax+1），
由题意得：f′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，
a=0时，f′（x）=e^x＞0恒成立，即满足条件，
当a≠0时，要使f′（x）≥0，而e^x＞0恒成立，
故只需-$\frac{a}{2}$x²-ax+1≥0在[0，+∞）上恒成立，
即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{a}{2}＞0}\\{-\frac{a}{2}{•0}^{2}-a•0+1≥0}\end{array}\right.$，解得：a＜0，
综上，a的范围是（-∞，0]；
（2）由方程ax+1+xlnx=f（x）+$\frac{a}{2}$x²e^x，
得：a=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx（x＞0），
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$-lnx，（x＞0），
则h′（x）=$\frac{{（e}^{x}-1）（x-1）}{{x}^{2}}$，
由于x＞0，e^x-1＞0，可知x＞1时，h′（x）＞0，
0＜x＜1时，h′（x）＜0，
故函数h（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
故h（x）≥h（1）=e-1；
（随着x＞0的增长，y=e^x-1的增长速度越来越快，
会超过并远远大于y=x的增长速度，而y=lnx的增长速度则会越来越慢，
又当x＞0且x无限接近于0时，h（x）趋向于+∞），
故a＞e-1时，方程有2个不同的实根，
a=e-1时，方程有且只有1个实根，
a＜e-1时，方程没有实根；
（3）当x≥0时，要证明e^x--$\frac{a}{2}$x²e^|x|≤x+1成立，
只需证明e^x≤$\frac{a}{2}$x²e^x+x+1，
即证1≤$\frac{a}{2}$x²+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$①，令g（x）=$\frac{a}{2}$x²+$\frac{x+1}{{e}^{x}}$，
g′（x）=ax+$\frac{1{•e}^{x}-（x+1{）e}^{x}}{{{（e}^{x}）}^{2}}$=ax-$\frac{x}{{e}^{x}}$，
整理得：g′（x）=x（a-$\frac{1}{{e}^{x}}$），
∵x≥0时，$\frac{1}{{e}^{x}}$≤1，结合a≥1，得g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，+∞）递增，故g（x）≥g（0）=1，从而①式得证，
在x≤0时，要使e^x-$\frac{a}{2}$x²e^|x|≤x+1成立，
只需证明e^x≤$\frac{a}{2}$x²e^-x+x+1，即证1≤$\frac{a}{2}$x²e^-2x+（x+1）e^-x②，
令m（x）=$\frac{{ax}^{2}}{2}$e^-2x+（x+1）e^-x，得：m′（x）=-xe^-2x[e^x+a（x-1）]，
而p（x）=e^x+a（x-1）在x≤0时是增函数，
故p（x）≤p（0）=1-a≤0，从而m′（x）≤0，
∴m（x）在x≤0时是减函数，则m（x）≥m（0）=1，从而②得证，
综上，当a≥1时f（x）≤x+1．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查不等式的证明，分类讨论思想，是一道综合题．