Question

17．过抛物线y²=2px的焦点，倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l交此抛物线于A、B两点．
（1）求直线l的参数方程；
（2）求|AB|．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程可知焦点（$\frac{p}{2}$，0），及直线AB的斜率，求得AB的直线方程，转化成参数方程；
（2）将直线方程代入抛物线方程，设出A和B点，根据韦达定理写出x₁+x₂和x₁•x₂，代入弦长公式，即可求得|AB|．

解答 解：（1）抛物线y²=2px的焦点（$\frac{p}{2}$，0），
倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l：y=$\sqrt{3}$（x-$\frac{p}{2}$）．
直线l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{p}{2}+\frac{1}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$，（t为参数）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将直线方程代入到抛物线方程当中，得：3（x-$\frac{p}{2}$）²=2px，
整理得：3x²-5px+$\frac{3{p}^{2}}{4}$=0，
x₁+x₂=$\frac{5p}{3}$，x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$，
∴弦长|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{8p}{3}$．

点评 本题考查直线的参数方程及弦长，考查抛物线的性质及抛物线定义的运用，属于中档题．