Question

8．已知函数f（x）=x+1-alnx （a∈R）
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在x=2处取到极值，对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求实数b范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，然后分a≤0与a＞0两种情况讨论，从而得到f′（x）的符号，可得f（x）在其定义域（0，+∞）内的单调性，最后综合可得答案；
（2）求出a的值，问题转化为b≤1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，构造函数g（x），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出b的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$=$\frac{x-a}{x}$（x＞0），
当a≤0时，f'（x）＞0，在（0，+∞）上为增函数，
当a＞0时，f′（x）=$\frac{x-a}{x}$=0，
令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
∴f（x）在（0，a）上为减函数，在（a，+∞）递增；
（2）f′（x）=1-$\frac{a}{x}$，f′（2）=1-$\frac{a}{2}$=0，解得：a=2，
∴f（x）=x+1-2lnx，
对?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，
即x+1-2lnx≥bx-2在（0，+∞）恒成立，
即b≤1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=1-$\frac{1}{x}$-$\frac{2lnx}{x}$，g′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2-2lnx}{{x}^{2}}$=$\frac{2lnx-1}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{e}$，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜$\sqrt{e}$，
∴g（x）在（0，$\sqrt{e}$）递减，在（$\sqrt{e}$，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（$\sqrt{e}$）=$\frac{2-2\sqrt{e}}{e}$，
故b≤$\frac{2-2\sqrt{e}}{e}$．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值，考查恒成立问题，着重考查分类讨论思想与构造函数思想的应用，体现综合分析问题与解决问题能力．