Question

13．已知函数f（x）=alnx-bx²，a，b∈R．若不等式f（x）≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，则a的取值范围是（　　）

• A． [e，+∞）
• B． $[\frac{e^2}{2}，+∞）$
• C． $[\frac{e^2}{2}，{e^2}）$
• D． [e²，+∞）

Answer 1

分析 问题转化为$a≥\frac{x}{lnx}$对x∈（e，e²]都成立，令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，求出h（x）的导数，通过讨论函数h（x）的单调性，求出h（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：若不等式f（x）≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-bx²≥x对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥bx²对所有的b∈（-∞，0]，x∈（e，e²]都成立，
即alnx-x≥0对x∈（e，e²]都成立，即$a≥\frac{x}{lnx}$对x∈（e，e²]都成立，
即a大于等于$\frac{x}{lnx}$在区间（e，e²]上的最大值，
令$h（x）=\frac{x}{lnx}$，则$h'（x）=\frac{lnx-1}{{{{（lnx）}^2}}}$，
当x∈（e，e²]时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，
所以$h（x）=\frac{x}{lnx}$，x∈（e，e²]的最大值为$h（{e^2}）=\frac{e^2}{2}$，即$a≥\frac{e^2}{2}$，
所以a的取值范围为$[\frac{e^2}{2}，+∞）$．
故选：B

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．