Question

20．已知f（x）=ax²+bx+c（a＞0），
（Ⅰ）当a=1，b=2，若|f（x）|-2=0有且只有两个不同的实根，求实数c的取值范围；
（Ⅱ）设方程f（x）=x的两个实根为x₁，x₂，且满足0＜t＜x₁，x₂-x₁＞$\frac{1}{a}$，试判断f（t）与x₁的大小，并给出理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由f（x）的解析式得到最小值c-1，由|f（x）|-2=0有且只有两个不同的实根，得到不等式-2＜c-1＜2，由此得到c的取值范围．
（Ⅱ）由方程f（x）=x的两个实根为x₁，x₂，由韦达定理得到两个根的差的范围，用做差来判断两数的大小．

解答 解：（1）∵当a=1，b=2，∴f（x）=x²+2x+c=（x+1）²+c-1
∴-2＜c-1＜2
∴-1＜c＜3
（Ⅱ）方程f（x）=x，即ax²+（b-1）x+c=0，
由题意得${x_1}+{x_2}=\frac{1-b}{a}，{x_1}{x_2}=\frac{c}{a}$，
$f（t）-{x_1}=a{t^2}+bt+c-（a{x_1}^2+b{x_1}+c）=（t-{x_1}）（at+a{x_1}+b）$（1）
∵${x_1}+{x_2}=\frac{1-b}{a}$，
∴ax₁+ax₂=1-b，即ax₁+b=1-ax₂代入 （1）得
$f（t）-{x_1}=a{t^2}-bt+c-（a{x_1}^2-b{x_1}+c）=（t-{x_1}）（at-a{x_2}+1）$
∵0＜t＜x₁，∴t-x₁＜0，∵0＜t＜x₁，
∴at-ax₂+1＜ax₁-ax₂+1，
∵${x_2}-{x_1}＞\frac{1}{a}$，∴ax₁-ax₂＜-1，即at-ax₂+1＜ax₁-ax₂+1＜0．
所以f（t）＞x₁．

点评 本题考查由f（x）的解析式得到最小值，得到不等式-2＜c-1＜2，由此得到c的取值范围．由韦达定理得到两个根的差的范围，用做差来判断两数的大小．