Question

已知函数f（x）=x²-2ax+1．
（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，求a的取值范围；
（2）若函数在区间[-1，2]上有最小值-1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，故有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，解不等式组求出a的取值范围．
（2）由于二次函数的对称轴为x=a，分a＜-1、-1≤a≤2、a＞2三种情况，分别根据最小值求出a的值，取并集，即得所求．

解答：解：（1）若函数f（x）在区间（0，1）和（1，3）上各有一个零点，故有

f(0)＞0 f(1)＜0 f(3)＞0

，
即

1＞0 1-2a+1＜0 9-6a＞0

，解得 0＜a＜

5

3

．
故a的取值范围为（0，

5

3

）．
（2）若函数在区间[-1，2]上有最小值-1，由于函数的对称轴为x=a，
当a＜-1时，函数f（x）在区间[-1，2]上是增函数，最小值为f（-1）=1+2a+1=-1，解得a=-

3

2

．
当-1≤a≤2时，函数f（x）在区间[-1，2]上先减后增，最小值为f（a）=-a²+1=-1，解得a=

2

 或-

2

（舍去）．
当a＞2时，函数f（x）在区间[-1，2]上是减函数，最小值为f（2）=5-4a=-1，解得a=

3

2

（舍去）．
综上，a的值为-

3

2

 或

2

．

点评：本题考查函数零点的判定定理，求二次函数在闭区间上的最值的方法，属于中档题．