Question

12．如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点．
（1）求证：EF⊥B₁C；
（2）求三棱锥E-FCB₁的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为DD₁、DB的中点，可得B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，进一步得到B₁C⊥平面ABC₁D₁，进而B₁C⊥BD₁，再由中位线定理即可得到EF⊥B₁C；
（2）由题意，可先证明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱锥的高，再求出底面△B₁EF的面积，然后由等积法把三棱锥E-FCB₁的体积转化为C-B₁EF的体积求解．

解答 （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴B₁C⊥AB，B₁C⊥BC₁，又AB∩BC₁=B
∴B₁C⊥平面ABC₁D₁，
∴B₁C⊥BD₁，
又∵E、F分别为DD₁、DB的中点，∴EF∥BD₁，
∴EF⊥B₁C；
（2）∵CF⊥平面BDD₁B₁，
∴CF⊥平面EFB₁，
由已知得CF=BF=$\sqrt{2}$，
∵EF=$\frac{1}{2}$BD₁，${B}_{1}F=\sqrt{B{F}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}=\sqrt{6}$，${B}_{1}E=\sqrt{{B}_{1}{{D}_{1}}^{2}+{D}_{1}{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+（2\sqrt{2}）^{2}}=3$，
∴$E{F}^{2}+{B}_{1}{F}^{2}={B}_{1}{E}^{2}$，即∠EFB₁=90°，
∴${V}_{E-FC{B}_{1}}={V}_{C-{B}_{1}EF}$=$\frac{1}{3}$•${S}_{△{B}_{1}EF•CF}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\sqrt{6}×\sqrt{2}=1$．

点评 本题考查线面垂直的性质定理与线面垂直的判定定理及锥体的体积的求法，考查了空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体体积，是中档题．