Question

4．已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=1，a_n+1=2a_n+1，b₁=4，b_n-b_n-1=a_n+1（n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n+1}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），即可证明．
（II）由（Ⅰ）知a_n+1=2ⁿ，可得：${b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，利用“累加求和”方法与等比数列的求和公式即可得出．

解答 （Ⅰ）证明：由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2（a_n+1），
又a_n+1≠0，∴$\frac{{{a_{n+1}}+1}}{{{a_n}+1}}=2$，即{a_n+1}为等比数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知a_n+1=（a₁+1）q^n-1=2•2^n-1=2ⁿ，
∴${b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，${b_2}-{b_1}={2^2}，{b_3}-{b_2}={2^3}，{b_4}-{b_3}={2^4}…{b_n}-{b_{n-1}}={2^n}（n≥2）$，
将以上n-1个式子累加可得${b_n}-{b_1}=\frac{{4（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}={2^{n+1}}-4$，又b₁=4，
故${b_n}={2^{n+1}}$．

点评 本题考查了递推关系、“累加求和”方法、等比数列的通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．