Question

13．已知圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，则b等于（　　）

• A． ±$\sqrt{5}$
• B． ±$\sqrt{10}$
• C． ±2$\sqrt{5}$
• D． ±$\sqrt{30}$

Answer 1

分析 求出圆C的圆心C（1，3），半径r=$\sqrt{2}$，求出圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被y轴截得的线段AB的长为2，从而得到圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，再求出圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d，由勾股定理得：${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}$，由此能求出b．

解答 解：圆C：（x-1）²+（y-3）²=2的圆心C（1，3），半径r=$\sqrt{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{（x-1）^{2}+（y-3）^{2}=2}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=4}\end{array}\right.$，
∴圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被y轴截得的线段AB的长为2，
∵圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被y轴截得的线段AB与被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度相等，
∴圆C：（x-1）²+（y-3）²=2被直线y=3x+b所截得的线段CD的长度为2，
∵圆心C（1，3）到直线y=3x+b的距离d=$\frac{|3-3+b|}{\sqrt{9+1}}$=$\frac{|b|}{\sqrt{10}}$，
∴由勾股定理得：${r}^{2}={d}^{2}+（\frac{CD}{2}）^{2}$，
即2=$\frac{{b}^{2}}{10}+1$，解得b=$±\sqrt{10}$．
故选：B．

点评 本题考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、点到直线的距离公式的合理运用．