Question

9．若圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）与曲线x（y-1）=1没有公共点，则半径r的取值范围是（　　）

• A． 0＜r＜$\sqrt{2}$
• B． 0＜r＜$\frac{{\sqrt{11}}}{2}$
• C． 0＜r＜$\sqrt{3}$
• D． 0＜r＜$\frac{{\sqrt{13}}}{2}$

Answer 1

分析 欲求半径r的取值范围，只需求出圆心（1，0）到曲线x=$\frac{1}{y-1}$上的点的最短距离，取曲线上的点（$\frac{1}{a-1}$，a），a≠1，求出圆心（1，0）到曲线x=$\frac{1}{y-1}$上的点的最短距离为$\sqrt{3}$，由此能求出若圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）与曲线x（y-1）=1的没有公共点，则半径r的取值范围．

解答 解：∵圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）的圆心（1，0），半径r，
圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）与曲线x（y-1）=1没有公共点
∴欲求半径r的取值范围，只需求出圆心（1，0）到曲线x=$\frac{1}{y-1}$上的点的最短距离，
取曲线上的点（$\frac{1}{a-1}$，a），a≠1，
d=$\sqrt{{a}^{2}+（\frac{1}{a-1}-1）^{2}}$
=$\sqrt{（a-1）^{2}+2（a-1）+\frac{1}{（a-1）^{2}}-\frac{2}{a-1}+2}$
=$\sqrt{（a-1-\frac{1}{a-1}）^{2}+2（a-1-\frac{1}{a-1}）+4}$
=$\sqrt{（a-1-\frac{1}{a-1}+1）^{2}+3}$$≥\sqrt{3}$，
∴若圆（x-1）²+y²=r²（r＞0）与曲线x（y-1）=1的没有公共点，则半径r的取值范围是（0，$\sqrt{3}$）．
故选：C．

点评 本题考查圆的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质、两点间距离公式的合理运用．