Question

19．已知函数f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{4-{x}^{2}}$，x∈（0，2），ab＜0，求证：f（x）≥（$\frac{a-b}{2}$）²．

Answer 1

分析 变形函数f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$[x²+（4-x²）]$（\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4-{x}^{2}}）$=$\frac{1}{4}$$[{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{a}^{2}（4-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{{b}^{2}{x}^{2}}{4-{x}^{2}}]$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 证明：∵x∈（0，2），∴x²，4-x²∈（0，4）．又ab＜0．
∴函数f（x）=$\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{4-{x}^{2}}$=$\frac{1}{4}$[x²+（4-x²）]$（\frac{{a}^{2}}{{x}^{2}}+\frac{{b}^{2}}{4-{x}^{2}}）$=$\frac{1}{4}$$[{a}^{2}+{b}^{2}+\frac{{a}^{2}（4-{x}^{2}）}{{x}^{2}}+\frac{{b}^{2}{x}^{2}}{4-{x}^{2}}]$≥$\frac{1}{4}$$（{a}^{2}+{b}^{2}+2\sqrt{{a}^{2}{b}^{2}}）$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-2ab}{4}$=$（\frac{a-b}{2}）^{2}$．
当且仅当a（4-x²）=-bx²时取等号．
∴f（x）≥（$\frac{a-b}{2}$）²．

点评 本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．