Question

若n=

1

5

[

C

7 10

-

A

2 5

]，m是(

5

2x

+

2

5

3	x2

)5的展开式中的常数项．
（1）将n个不同的物品任意分成m-2组，共有多少种不同的分组分法？
（2）求C_n-18^m-2+C_n-17^m-2+C_n-16^m-2+…+C_n^m-2的值．

Answer 1

考点：二项式定理的应用

专题：计算题,排列组合,二项式定理

分析：运用排列和组合数公式，即可得到n=20，由二项式展开式的通项公式，即可得到m=4，
（1）运用分组方法得到共有

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1

2

•C

10 20

种，再由二项式定理，注意逆用，即可求得结果；
（2）运用组合数的性质：

C

m n

+C

m-1 n

=C

m n+1

，以及组合数公式，即可得到答案．

解答： 解：由于n=

1

5

[

C

7 10

-

A

2 5

]=

1

5

[

C

3 10

-

A

2 5

]=

1

5

×（120-20）=20，
(

5

2x

+

2

5

3	x2

)5的展开式的通项公式T_r+1=

C

r 5

（

5

2x

）^5-r•（

2

5

3	x2

）^r=

C

r 5

•（

5

2

）^5-2r•x

5

3

r-5，
其中r=0，1，…，5，令

5

3

r-5=0，即得r=3，
则展开式中的常数项为10×

2

5

=4．即m=4．
（1）将10个不同的物品任意分成2组，共有

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1

2

•C

10 20

种，
则

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

9 20

+

1 2 C

10 20

=

1

2

（

C

1 20

+

C

2 20

+…+

C

19 20

）=

1

2

（2²⁰-2）=2¹⁹-1；
（2）C_n-18^m-2+C_n-17^m-2+C_n-16^m-2+…+C_n^m-2=

C

2 2

+

C

2 3

+…+

C

2 20

=

C

3 3

+

C

2 3

+…+

C

2 20

=

C

3 4

+

C

2 4

+…+

C

2 20

=…=

C

3 20

+

C

2 20

=

C

3 21

=1330．

点评：本题考查排列组合数公式的运用和二项式定理的运用，考查分组问题和组合数的性质及运用计算和化简，属于中档题．