Question

5．如图，△ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，且AC=20，BC=30．
（1）求△ABC的面积；
（2）已知平面直角坐标系xOy，点D（20，0），若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$） 的图象经过A、C、D三点，且A、D为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）由题意可得：2A=B+C，又A+B+C=180°，可得A=60°．由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，解出c，可得|AO|，|BO|，即可得出S_△ABC．
（2）T=60，可得$ω=\frac{π}{30}$．f（-10）=Msin$[\frac{π}{30}×（-10）+φ]$=0，可得φ．

解答 解：（1）在△ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，
∴2A=B+C，又A+B+C=180°，∴A=60°．
由余弦定理可知：a²=b²+c²-2bccos60°，
∴c²-20c-500=0，解得c=10+10$\sqrt{6}$．
又∵|AO|=20cos60°=10，∴|BO|=10$\sqrt{6}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×（10+10\sqrt{6}）$×$10\sqrt{3}$=50$（3\sqrt{2}+\sqrt{3}）$．
（2）T=2×（20+10）=60，
∴$ω=\frac{π}{30}$．
∵f（-10）=Msin$[\frac{π}{30}×（-10）+φ]$=0，
∴sin$（-\frac{π}{3}+φ）$=0，
∴-$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，|φ|＜$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{3}$．
∵f（0）=Msin$\frac{π}{3}$=10$\sqrt{3}$，解得M=20，
∴f（x）=20sin$（\frac{π}{30}x+\frac{π}{3}）$．

点评 本题考查了解三角形、余弦定理、三角函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．