Question

设a，b，c是周长不超过2π的三角形边长，判断sina，sinb，sinc能否构成三角形？请分类讨论．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：因为a，b，c是三角形的三条边长，所以|b-c|＜a＜b+c，又a+b+c≤2π，讨论①若b+c＞π，则a＜π．②若b+c≤π，则a＜π．
求出角的范围，运用和的正弦公式，以及正弦函数、余弦函数的单调性，证得 sinb+sinc＞sina，同理得到 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，即可说明结论．

解答： 解：因为a，b，c是三角形的三条边长，所以|b-c|＜a＜b+c，
又a+b+c≤2π，
①若b+c＞π，则a＜π．
∴0≤

|b-c|

2

＜

a

2

＜

π

2

＜

b+c

2

≤π-

a

2

，
∴sin

b+c

2

＞sin

a

2

，cos

b-c

2

＞cos

a

2

，
于是  sinb+sinc=2sin

b+c

2

cos

b-c

2

＞2sin

a

2

cos

a

2

=sina，
即 sinb+sinc＞sina，
同理可证 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，
可见 sina，sinb，sinc可构成三角形的三条边长．
②若b+c≤π，则a＜π．
则有0≤

|b-c|

2

＜

a

2

＜

b+c

2

＜

π

2

，
即有sin

b+c

2

＞sin

a

2

，cos

b-c

2

＞cos

a

2

，
于是  sinb+sinc=2sin

b+c

2

cos

b-c

2

＞2sin

a

2

cos

a

2

=sina，
即 sinb+sinc＞sina，
同理可证 sinc+sina＞sinb，sina+ainb＞sinc，
可见 sina，sinb，sinc可构成三角形的三条边长．
综上，sina，sinb，sinc均可构成三角形的三条边长．

点评：本题考查三角形的三边关系，考查三角函数的单调性及运用，考查三角形的判定方法，属于中档题．