Question

已知：函数定义域为（0，+∞），在定义域上为增函数，且对任意实数x，y∈（0，+∞）满足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1，解不等式f（x）+f（x-2）＜3．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的图象与图象变化

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：原不等式即 f[x（x-2）]＜3，求得f（8）=3，原不等式即 f[x（x-2）]＜f（8），由单调性得，

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

，求得不等式的解集．

解答： 解：不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．
由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，
故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．
由于函数在定义域（0，+∞）上为增函数，
则

x＞0 x-2＞0 x(x-2)＜8

，解得 2＜x＜4，
故不等式的解集为 （2，4）．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，注意函数的定义域，考查不等式的解法，属于中档题．