Question

已知向量

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1）．
（1）当

a

∥

b

时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=2（

a

+

b

）•

b

，已知在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=

3

，b=2，sinB=

6

3

，求f（x）+4cos（2A+

π

6

） （x∈[0，

π

2

]）的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量共线（平行）的坐标表示,正弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由

a

∥

b

求出tanx的值，把cos²x-sin2x化为关于tanx的表达式，从而求出值来；
（2）利用数量积求出f（x）的表达式，△ABC中由正弦定理求出A的大小，由此求出f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范围．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cosx，-1），且

a

∥

b

；
∴

3

4

cosx+sinx=0，
∴tanx=-

3

4

；
∴cos²x-sin2x=

cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=

1-2×(- 3 4 )

1+(- 3 4 )2

=

8

5

； …（6分）
（2）∵f（x）=2（

a

+

b

）•

b

=2（sinx+cosx）•cosx+2×（

3

4

-1）×（-1）
=2sinxcosx+2cos²x+

1

2

=sin2x+cos2x+1+

1

2

=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

；
在△ABC中，由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，
∴sinA=

3 × 6 3

2

=

2

2

，
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

；
又∵b＞a，∴A=

π

4

，
∴f（x）+4cos（2A+

π

6

）=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

+4cos（2×

π

4

+

π

6

）
=

2

sin（2x+

π

4

）+

3

2

-4sin

π

6

=

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

，
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

]；
∴

2

2

≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴-

3

2

≤

2

sin（2x+

π

4

）-

1

2

≤

2

-

1

2

；
即f（x）+4cos（2A+

π

6

）的取值范围是[-

3

2

，

2

-

1

2

]．…（12分）

点评：本题考查了平面向量的数量积以及正弦定理的应用和三角函数的恒等变换问题，是综合性题目，属于中档题．