Question

设等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且S₄=4S₂，a_2n=2a_n+1
（1）求a_n
（2）设b_n=2ⁿa_n，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件利用等差数列的前n项和与通项公式求出公差与公差，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由已知得

4a1+6d=8a1+4d a1+(2n-1)d=2a1+2(n-1)d+1

，
解得a₁=1，d=2，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵b_n=2ⁿa_n=（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．