Question

已知函数f（x）=

x2+2x+a

x

（x≥1），若a为正常数，求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的概念及应用

分析：由已知得f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，x≥1，由此利用导数性质能求出f（x）的最小值．

解答： 解：f（x）=

x2+2x+a

x

=x+

a

x

+2，x≥1
∴f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，x≥1，
当

a

＜1，即0＜a＜1时，由x≥1，知f′（x）＞0，
∴f（x）的最小值为f（1）=3+a；
当

a

≥1时，即a≥1时，由f′（x）＞0，得x＞

a

，由f′（x）＜0，得1≤x＜

a

，
∴f（x）的最小值为f（

a

）=2+2

a

．
综上所述，f（x）的最小值为：

3+a，0＜a＜1 2+2 a ，a≥1

．

点评：本题考查函数的最小值的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．