Question

已知函数f（x）=

-x2+3x(x＞0) x2-3x(x≤0)

（1）作出函数f（x）的图象，并求函数f（x）的单调区间；
（2）求集合M={m|使方程f（x）=m有三个不相等的实数根}．

Answer 1

考点：函数图象的作法,函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知中函数f（x）的解析式，根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得函数f（x）的图象，进而根据图象上升和下降情况，找到函数f（x）的单调区间；
（2）由（1）中图象可得0＜m＜f(

3

2

)时，方程f（x）=m有三个不相等的实数根，进而得到满足条件的集合M．

解答： 解：（1）函数f（x）=

-x2+3x(x＞0) x2-3x(x≤0)

的图象如下图所示：

由图可知，函数f（x）的单调增区间为：(0，

3

2

)，
函数f（x）的单调减区间为：(-∞，0)，(

3

2

，+∞)…（6分）
（2）由图可知，0＜m＜f(

3

2

)时，方程f（x）=m有三个不相等的实数根，
又f(

3

2

)=-(

3

2

)2+3×

3

2

=

9

4

，
∴0＜m＜

9

4

∴M={m|0＜m＜

9

4

}…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数图象的作法，函数的零点与方程根的关系，数形结合是解答的关键．