Question

已知函数f（x）=x+

t

x

，有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数（0，

t

]上是减函数，在[

t

，+∞）上是增函数．
（1）已知h（x）=x+

4

x

，x∈[1，8]，求函数h（x）的最大值和最小值．
（2）已知f（x）=

4x2-12x-3

2x+1

，x∈[0，1]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域．
（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）成立，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用已知明确h（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，8]上单调递增，则在x=2时取最小值，比较1与8的函数值得到最大值；
（2）把2x+1看成整体，研究对勾函数的单调性从而求出函数的值域，以及利用复合函数的单调性的性质得到该函数的单调性；
（3）对于任意的x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，1]，使得g（x₂）=f（x₁）可转化成f（x）的值域为g（x）的值域的子集，建立关系式，解之即可．

解答： 解：（1）由已知可知，函数h（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，8]上单调递增，
因为h(1)=5＜h(8)=

17

2

，所以当x=8时，h(x)max=h(8)=

17

2

，
当x=2时，h（x）_min=h（2）=4
（2）y=f(x)=

4x2-12x-3

2x+1

=2x+1+

4

2x+1

-8，
设u=2x+1，x∈[0，1]，1≤u≤3，则y=u+

4

u

-8，u∈[1，3]，
由已知性质得，
当1≤u≤2，即0≤x≤

1

2

时，f（x）单调递减，所以递减区间为[0，

1

2

]
当2≤u≤3，即

1

2

≤x≤1时，f（x）单调递增，所以递增区间为[

1

2

，1]
由f(0)=-3，f(

1

2

)=-4，f(1)=-

11

3

，得f（x）的值域为[-4，-3]
（3）由于g（x）=-x-2a为减函数，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]
由题意，f（x）的值域为g（x）的值域的子集，
从而有

-1-2a≤-4 -2a≥-3

所以a=

3

2

．

点评：本题主要考查了利用单调性求函数的值域，以及函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和运算求解的能力．