Question

某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜

π

2

）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：

x	x1	1 3	x2	7 3	x3
ωx+ϕ	0	π 2	π	3π 2	2π
Asin（ωx+ϕ）	0	3	0	- 3	0

（Ⅰ）请写出上表的x₁、x₂、x₃，并直接写出函数的解析式；
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移

2

3

个单位得到函数g（x）的图象，P、Q分别为函数g（x）图象的最高点和最低点（如图），求∠OQP的大小．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得ω、φ的值，得到函数解析式，进一步求得x₁、x₂、x₃；
（Ⅱ）由函数图象平移求得g(x)=

3

sin

π

2

x，求出最高点和最低点的坐标，进一步求出三角形OPQ的边长，由余弦定理求得∠OQP的大小．

解答： 解：（Ⅰ）由表可知，

1

3

ω+φ=

π

2

，

7

3

ω+φ=

3π

2

，
解得，ω=

π

2

，φ=

π

3

．
由

π

2

x₁+

π

3

=0、

π

2

x₂+

π

3

=π、

π

2

x₃+

π

3

=2π，得
x1=-

2

3

，x2=

4

3

，x3=

10

3

．
∴f(x)=

3

sin(

π

2

x+

π

3

)；
（Ⅱ）将f（x）的图象沿x轴向右平移

2

3

个单位得到函数g(x)=

3

sin

π

2

x，
∵P、Q分别为该图象的最高点和最低点，
∴P(1，

3

)，Q(3，-

3

)．
∴OP=2，PQ=4，OQ=

12

，
∴cosθ=

OQ2+PQ2-OP2

2OQ•QP

=

3

2

．
∴θ=

π

6

．

点评：本题考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解函数解析式，考查了y=Asin（ωx+φ）的性质，考查了余弦定理的应用，训练了五点作图法，是中档题．