Question

给出下列命题：
①?α，β∈R，使cos（α+β）=cosα+sinβ；
②?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点；
③?m∈R，使f（x）=（m-1）•xm2-4m+3是幂函数，且在（0，+∞）上递减；
④若函数f（x）=|2^x-1|，则?x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂，使得f（x₁）＞f（x₂）．
其中是假命题的

 

（填序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①令α=0，β=0，满足cos（α+β）=cosα+sinβ；
②令f（x）=0得a=ln²x+lnx=(lnx+

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，从而可判断②的正误；
③?m=2，使得f（x）=x^-1是幂函数，在（0，+∞）上递减；
④利用指数函数的单调性与最值，可得0≤x≤1时，f（x）=|2^x-1|=2^x-1为[0，1]上的增函数，从而可判断④的正误．

解答： 解：①?α=0，β=0，使cos（α+β）=cosα+sinβ，故①正确；
②令f（x）=ln²x+lnx-a=0得：a=ln²x+lnx=(lnx+

1

2

)2-

1

4

≥-

1

4

，
∴当a≥-

1

4

时，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点，
∴?a＞0，函数f（x）=ln²x+lnx-a有零点，正确；
③?m=2∈R，使f（x）=（2-1）•x22-4×2+3=x^-1是幂函数，且在（0，+∞）上递减，故③正确；
④∵0≤x≤1时，1≤2^x≤2，0≤2^x-1≤1，
∴f（x）=|2^x-1|=2^x-1为[0，1]上的增函数，
∴x₁，x₂∈[0，1]且x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），故④错误．
故答案为：④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查函数的零点、幂函数的概念及应用，考查指数函数的单调性与最值，属于中档题．