Question

设f（x）是定义在R上的奇函数且对任意实数x恒有f（x+2）=-f（x），当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）当x∈[-2，0）时，求f（x）的解析式；
（2）计算f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用

分析：（1）当x∈[-2，0）时，x+2∈[0，2]，结合f（x+2）=-f（x），及当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．可得当x∈[-2，0）时，f（x）的解析式；
（2）由f（x+2）=-f（x），易得f（x）是T=4的周期函数，利用分组求和法，可得f（1）+f（2）+…+f（2014）的值．

解答： 解：（1）当x∈[-2，0）时，x+2∈[0，2]
∴f（x+2）=2（x+2）-（x+2）²=-x²-2x，
又∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x）=x²+2x…（6分）；
（2）∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
故f（x）是T=4的周期函数，
由（1）得：
f（1）=1，f（2）=0，f（3）=f（-1）=-1，f（4）=f（0）=0，
∴f（1）+f（2）+…+f（2014）=503×（1+0-1+0）+1+0=1…（12分）

点评：本题考查的知识点是函数周期性的性质，函数解析式的求解方法，是函数图象和性质的简单综合应用，难度不大，属于基础题．