Question

已知f（x）=-x²+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零．
（Ⅰ）求正数a的值所组成的集合A；
（Ⅱ）设关于x的方程f（x）+6=0的两个根为x₁、x₂，若对任意x∈A及t∈[-1，1]，不等式m²+tm-2+2

6

≥|x₁-x|恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）化简f（x）=-x²+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零得a≤x+

4

x

，从而求出集合A；（Ⅱ）用韦达定理求|x₁-x₂|，化简不等式化为函数最值问题．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=-x²+ax-4（a＞0）对于x∈[1，3]恒小于或等于零．
∴a≤x+

4

x

对x∈[1，3]恒成立．
∵x+

4

x

≥4（当且仅当x=2时，等号成立），
∴0＜a≤4，
∴A=（0，4]．
（Ⅱ）方程f（x）+6=0可化为x²-ax-2=0，
∵△=a²+8＞0，
∴x₁、x₂是方程方程f（x）+6=0的两个不同的根；
∴x₁+x₂=a，x₁•x₂=-2，
∴|x₁-x₂|=

a2+8

，
∵0＜a≤4，∴2

2

＜|x1-x2|=

a2+8

≤2

6

．
∴不等式m2+tm-2+2

6

≥|x1-x2|对任意x∈A及t∈[-1，1]恒成立可化为
m²+tm-2≥0对任意t∈[-1，1]恒成立，
设g（t）=m²+tm-2=mt+（m²-2），
则

g(-1)=m2-m-2≥0 g(1)=m2+m-2≥0

，
解得，m≤-2或m≥2；
即m的取值范围是（-∞，-2]∪[2，+∞）．

点评：本题考查了解决恒成立问题的两种方法，独立参数法和转化为函数最值的方法，属于难题．