Question

设a∈R，且a≥1，函数f（x）=ax||x|-a|．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）若x∈[-2，2]时，f（x）的最大值为g（a），求出g（a）的最大值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数单调性的判断与证明

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x||x|-1|，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出函数f（x）的单调增区间．
（2）当x≥0时，f（x）=ax|x-a|，当x＜0时，f（x）=ax|-x-a|，由此利用分类讨论思想和导数性质能求出g（a）的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）a=1时，f（x）=x||x|-1|，
①当x≥0时，f（x）=x|x-1|，
（i）当x≥1时，f（x）=x（x-1）=x²-x，f′（x）=2x-1，
由f′（x）＞0，得x＞

1

2

，∴x≥1，
∴函数f（x）的单调增区间为[1，+∞）；
（ii）当0≤x＜1时，f（x）=x（1-x）=x-x²，f′（x）=1-2x，
由f′（x）＞0，得x＜

1

2

，∴0≤x＜

1

2

，
∴函数f（x）的单调增区间为[0，

1

2

）；
②当x＜0时，f（x）=x|-x-1|，
（i）当x≤-1时，f（x）=-x²-x，f′（x）=-2x-1，
由f′（x）＞0，得x＜-

1

2

，∴x≤-1，
∴函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1]；
（ii）-1＜x＜0时，f（x）=x²+x，f′（x）=2x+1，
由f′（x）＞0，得x＞-

1

2

．∴-

1

2

＜x＜0，
∴函数f（x）的单调增区间为（-

1

2

，0）．
综上，函数f（x）的单调增区间为（-∞，-1]，（-

1

2

，

1

2

），[1，+∞）．
（2）①当x≥0时，f（x）=ax|x-a|，
（i）当x≥a时，f（x）=ax（x-a）=ax²-a²x，f′（x）=2ax-a²，
由f′（x）＞0，得x＞

a

2

，∴x≥a，
由f′（x）＜0，得x＜

a

2

，∴x∈∅．
若a＞2，f（x）无最大值；
若a≤2，x∈[-2，2]时，g（a）=f（x）_最大值=f（2）=4a-2a²；
（ii）当0≤x＜a时，f（x）=ax（a-x）=a²x-ax²，f′（x）=a²-2ax，
由f′（x）＞0，得x＜

a

2

，∴0≤x＜

a

2

，
由f′（x）＜0，得x＞

a

2

，∴

a

2

＜x＜a，
∴x∈[-2，2]时，g（a）=f（x）_最大值=f（

a

2

）=

a3

4

；
②当x＜0时，f（x）=ax|-x-a|，
（i）当x≤-a时，f（x）=-ax²-a²x，f′（x）=-2ax-a²，
由f′（x）＞0，得x＜-

a

2

，∴x≤-a，
由f′（x）＜0，得x＞-

a

2

，∴x∈∅．
当-a＜-2时，x∈[-2，2]时，无最大值；
当-a＞-2时，x∈[-2，2]时，g（a）=f（x）_最大值=f（-a）=-a³+a³=0；
（ii）-a＜x＜0时，f（x）=ax²+a²x，f′（x）=2ax+a²，
由f′（x）＞0，得x＞-

a

2

．∴-

a

2

＜x＜0，
由f′（x）＜0，得x＜-

a

2

．∴-a＜x＜-

a

2

，
∴x∈[-2，2]时，g（a）=f（x）_最大值=f（2）=4a+4a²．
综上，g（a）的最大值为4a+4a²．

点评：本题重点考查利用导数研究函数的性质，利用函数的性质解决不等式、方程问题．重点考查学生的代数推理论证能力．解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．