Question

已知f（x）为定义在[-1，1]上的奇函数，当x∈[-1，0]时，函数解析式为f（x）=

1

4x

-

1

2x

（b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最大值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]．利用已知条件以及函数的奇偶性即可求f（x）在[0，1]上的解析式；
（Ⅱ）通过换元法化简函数f（x）利用二次函数的性质求解在[0，1]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]．
∴f（-x）=

1

4-x

-

1

2-x

=4^x-2^x．
又∵f（-x）=-f（x）
∴-f（x）=4^x-2^x．
∴f（x）=2^x-4^x．
所以，f（x）在[0，1]上的解析式为f（x）=2^x-4^x…（6分）
（Ⅱ）当x∈[0，1]，f（x）=2^x-4^x=2^x-（2^x）²，
∴设t=2^x（t＞0），则f（t）=t-t²．
∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
当t=1时，取最大值为1-1=0．
所以，函数在[0，1]上的最大值分别为0…（12分）

点评：本题考查函数的解析式的求法，函数的最值的求法，奇偶性的应用，基本知识的考查．