Question

已知函数f（x）=

1

2

x²-alnx-

1

2

（a∈R，a≠0）．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若对任意的x∈[1，+∞）都有f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,函数恒成立问题,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）当a=2时，求出函数的导数，利用导数的几何意义即可求曲线y=f（x）在点（1，f（x））处的切线方程；
（2）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系即可求函数f（x）的单调区间；
（3）根据函数的单调性求出函数的最小值即可实数a的取值范围．

解答： 解：（1）当a=2时，f（x）=

1

2

x²-2lnx-

1

2

，
f（1）=0，即切点（1，0），
函数的导数为f′（x）=x-

2

x

，
则f′（1）=1-2=-1，
∴曲线y=f（x）在点（1，0）处的切线方程为y=-（x-1），即x+y-1=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
则函数的导数为f′（x）=x-

a

x

=

x2-a

x

，
若a＜0，则f′（x）＞0，此时函数单调递增，递增区间为（0，+∞），
若a＞0，由f′（x）＞0得x＞

a

，此时函数单调递增，递增区间为（

a

，+∞）
由f′（x）＜0，解得0＜x＜

a

，此时函数单调递减，递减区间为（0，

a

）．
（3）若对任意的都有f（x）≥0恒成立，
由（2）知，若a＜0，函数f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）≥f（1）=0，满足条件．
若a＞0，若a≤1，此时函数f（x）在[1，+∞）单调递增，f（x）≥f（1）=0，满足条件，
若a＞1，f（x）在[1，

a

]上单调递减，此时f（x）≤f（1）=0，与f（x）≥0恒成立，满足，
综上a≤1．

点评：本题主要考查函数切线的求解，以及函数单调性和函数最值的求解，综合考查函数的导数的应用．