Question

已知函数f（x）=e^x（x²+ax+b）在点（0，f（0））处的切线方程为6x+y+4=0．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式及单调区间；
（Ⅱ）若方程f（x）=k（k∈R）有三个实根，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,根的存在性及根的个数判断

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由函数f（x）=e^x（x²+ax+b）在点（0，f（0））处的切线方程为6x+y+4=0列式求得a，b的值，再由导函数的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）构造辅助函数g（x）=f（x）-k，利用导数求出其极大值和极小值，由极大值大于0且极小值小于0求得k的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x（x²+ax+b），
∴f′（x）=e^x（x²+ax+b）+e^x（2x+a）=e^x（x²+2x+ax+a+b）．
由f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为6x+y+4=0．
得

f′(0)=a+b=-6 f(0)=b=-4

，解得：a=-2，b=-4．
∴f（x）=e^x（x²-2x-4），
∵f′（x）=e^x（x²-6）．
由f′（x）＞0，得x＜-

6

或x＞

6

．
由f′（x）＜0，得-

6

＜x＜

6

．
∴原函数的增区间：(-∞，-

6

)，(

6

，+∞)；减区间：(-

6

，

6

)．
（Ⅱ）∵f（x）=e^x（x²-2x-4），
令g（x）=f（x）-k=e^x（x²-2x-4）-k，
则g′（x）=e^x（x²-6），
由g′（x）=0，得x=±

6

．
当x∈(-∞，-

6

)，(

6

，+∞)时，f′（x）＞0．
当x∈(-

6

，

6

)时，f′（x）＜0．
∴g（x）的极大值为g(-

6

)=e-

6

(6+2

6

-4)-k＞0，
则k＜e-

6

(2+2

6

)．
g（x）的极小值为g(

6

)=e

6

(6-2

6

-4)-k＜0，
则k＞e

6

(2-2

6

)．
综上，使方程f（x）=k（k∈R）有三个实根的实数k的取值范围是(e

6

(2-2

6

)，e-

6

(2+2

6

))．

点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，训练了函数构造法，是高考试卷中的压轴题．