Question

已知函数f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x．
（1）求函数f（x）最大值和单调增区间；
（2）已知△ABC外接圆半径R=

3

，f（

A

2

-

π

8

）+f（

B

2

+

π

8

）=4

6

sinAsinB，角A，B所对的边分别是a，b，求a+b的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的定义域和值域,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）对函数解析式化简，利用三角函数的性质求得函数的最大值和递增区间．
（2）根据已知等式求得sinA和sinB的关系式，再利用正弦定理转化为a和b的关系式，最后利用基本不等式求得a+b的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin2x+

2

cos2x=2sin（2x+

π

4

），
∴f（x）_max=2，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z），
∴函数的单调增区间为[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）依题意知2sin（A-

π

4

+

π

4

）+2sin（B+

π

4

+

π

4

）=2sinA+2cosB=4

6

sinAsinB，
∴

1

sinA

+

1

sinB

=2

6

，
∵△ABC外接圆半径R=

3

∴

1

sinA

=

2 3

a

，sinB=

2 3

b

，
∴

2 3

a

+

2 3

b

=2

6

∴a+b=

2

ab，
∵ab≤

(a+b)2

4

，
∴

a+b≤

2

(a+b)2

4

，求得a+b≥2

2

，a=b时取等号．
即a+b的最小值为2

2

．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦定理的运用．考查了学生基础知识的综合运用能力．