Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=

2

，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（1）求证：PO⊥平面ABCD；
（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

？若存在，求出

AQ

QD

的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面垂直的判定定理可知，只需证直线PO垂直平面ABCD中的两条相交直线垂直即可；
（2）先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点B，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角即可；
（3）利用V_p-DQC=V_Q-PCD，即可得出结论．

解答： （1）证明：在△PAD卡中PA=PD，O为AD中点，所以PO⊥AD．
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PO?平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD．
（2）解：连接BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD=BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC．
由（1）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角．
因为AD=2AB=2BC=2，在Rt△AOB中，AB=1，AO=1，所以OB=

2

，
在Rt△POA中，因为AP=

2

，AO=1，所以OP=1，
在Rt△PBO中，PB=

3

，所以cos∠PBO=

6

3

，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为

6

3

．
（3）解：假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为

3

2

．
设QD=x，则S_△DQC=

1

2

x，由（2）得CD=OB=

2

，
在Rt△POC中，PC=

2

，
所以PC=CD=DP，S_△PCD=

3

4

×(

2

)2=

3

2

，
由V_p-DQC=V_Q-PCD，得x=

3

2

，所以存在点Q满足题意，此时

AQ

QD

=

1

3

．

点评：本题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能力．