Question

已知函数f（x）=

2a-x

+

x

（a∈N₊），设f（x）的最大值、最小值分别为m，n，若m-n＜2，则正整数a的取值个数是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由(

2a-x + x

2

)2≤

2a-x 2+ x 2

2

求函数的最大值，由单调性求最小值，解不等式求a．

解答： 解：f（x）=

2a-x

+

x

，
则由(

2a-x + x

2

)2≤

2a-x 2+ x 2

2

得，
f（x）=

2a-x

+

x

≤2

a

．（当且仅当x=a时，等号成立）
则m=2

a

．
f（x）_min=f（0）=f（2a）=

2a

=n，
则由m-n＜2得，
2

a

-

2a

＜2，
化简解得，0≤a＜6+4

2

又∵11＜6+4

2

＜12，a∈N₊
则a=1，2，3，…，11．
故正整数a的取值个数是11．
故答案为11．

点评：本题考查了不等式的综合应用，属于中档题．