Question

关于x的不等式

x+1

≤ax+1，对一切实数x∈Z⁺恒成立，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：由关于x的不等式

x+1

≤ax+1对一切实数x∈Z⁺恒成立，得到

ax+1＞0 x+1≤(ax+1)2

，转化为二次不等式后分二次项系数为0和不为0分析，当二次项系数不等于0时分判别式小于0和对称轴在x=1或其左侧，且x=1时的函数值大于等于0列不等式组求解，最后去并集得答案．

解答： 解：要使原不等式有意义，则x+1≥0，即x≥-1，
要使不等式

x+1

≤ax+1对一切实数x∈Z⁺恒成立，
则

ax+1＞0 x+1≤(ax+1)2

，整理得，

a＞- 1 x a2x2+(2a-1)x≥0

．
∵x∈Z⁺，
∴a＞-

1

x

≥0．
当a=0时，不等式a²x²+（2a-1）x≥0对于任意x∈Z⁺不成立；
当a＞0时，要使不等式a²x²+（2a-1）x≥0对于任意x∈Z⁺恒成立，则
（2a-1）²=0或

- 2a-1 2a2 ≤1 a2+2a-1≥0

．
解得：a=

1

2

或a≥

2

-1．
∴a≥

2

-1．
故答案为：a≥

2

-1．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了利用“三个二次”结合求变量的范围，是中档题．