Question

如图所示几何体是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截去三棱锥B₁-A₁BC₁后所得，点M为A₁C₁的中点．
（1）求证：A₁C₁⊥平面MBD；
（2）当正方体棱长等于

3

时，求三棱锥D-A₁BC₁的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）分别证明出DM⊥A₁C₁和BM⊥A₁C₁，进而根据线面垂直的判定定理证明出A₁C₁⊥平面MBD；
（2）先求得M到BD的距离进而求得△MBD的面积，进而利用体积公式求得答案．

解答： 解：
（1）证明：因为几何体是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁截取三棱锥B₁-A₁BC₁后所得，

DA1=DC1 A1M=C1M ⇒DM⊥A1C1 BA1=BC1 A1M=C1M ⇒BM⊥A1C1 DM∩BM=M

⇒A1C1⊥平面MBD；
（2）由题意知BD=

6

，点M到BD的距离为

3

，
则△MBD的面积为S△MBD=

1

2

×

6

×

3

=

3 2

2

，由（1）知A₁C₁⊥平面MBD
所以VD-A1BC1=

1

3

S△MBD•A1C1=

1

3

×

3 2

2

×

6

=

3

．

点评：本小题以正方体为载体，考查立体几何的基础知识．本题通过分层设计，考查了空间直线与平面的垂直关系，简单几何体体积的求法，考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．