Question

在△ABC中，角A，B，C对应的边为a，b，c，且2R为△ABC的外接圆的直径，f（C）=2R（sinAsinC+sinBcosC）+1．
（1）若a=b，求函数f（C）的单调区间；
（2）若a²+b²=2a+2

3

b-4，f（C）≥2，求角C的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用正弦定理及三角恒等变换可求得f（C）=

2

asin（C+

π

4

）+1，从而可求得函数f（C）的单调区间；
（2）由a²+b²=2a+2

3

b-4，可取得a=1，b=

3

；又f（C）≥2，于是可得sin（C+

π

4

）≥

2

2

，利用正弦函数的单调性与最值即可求得角C的取值范围．

解答： 解：（1）在△ABC中，∵a=b，
∴f（C）=2R（sinAsinC+sinBcosC）+1=asinC+acosC+1=

2

asin（C+

π

4

）+1，
当

π

4

＜C+

π

4

＜

π

2

，即0＜C＜

π

4

时，函数f（C）单调递增；
当

π

2

＜C+

π

4

＜

5π

4

，即

π

4

＜C＜π时，函数f（C）单调递减；
∴函数f（C）的单调递增区间为（

π

4

，π），单调递减区间为（

π

4

，π）；
（2）∵a²+b²=2a+2

3

b-4，
∴（a-1）²+(b-

3

)2=0，
∴a=1，b=

3

；
又f（C）=

2

asin（C+

π

4

）+1=

2

sin（C+

π

4

）+1≥2，
∴sin（C+

π

4

）≥

2

2

，
∴

π

4

≤C+

π

4

≤

3π

4

，解得0≤C+

π

4

≤

π

2

，又C＞0，
∴角C的取值范围为（0，

π

2

]．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，着重考查正弦定理及复合三角函数的性质，考查等价转化思想与运算期间能力，属于中档题．