Question

观察下列等式：
①sin2θ=cosθ•2sinθ
②sin4θ=cosθ（4sinθ-8sin³θ）
③sin6θ=cosθ（6sinθ-32sin³θ+32sin⁵θ）
④sin8θ=cosθ（8sinθ-80sin³θ+192sin⁵θ-128sin⁷θ）
⑤sin10θ=cosθ（10sinθ-160sin³θ+msin⁵θ-1024sin⁷θ+nsin⁹θ）
则可以推测（1）n=

 

；（2）m=

 

．

Answer 1

考点：归纳推理

专题：推理和证明

分析：由已知中的前四个等式，分析各项系数的变化规律，进而可得第五个式子中的系数，进而得到答案．

解答： 解：∵①sin2θ=cosθ•2sinθ
②sin4θ=cosθ（4sinθ-8sin³θ）=cosθ（4sinθ-2³sin³θ）
③sin6θ=cosθ（6sinθ-32sin³θ+32sin⁵θ）=cosθ（6sinθ-32sin³θ+2⁵sin⁵θ），
④sin8θ=cosθ（8sinθ-80sin³θ+192sin⁵θ-128sin⁷θ）=cosθ（8sinθ-80sin³θ+32×6sin⁵θ-2⁷sin⁷θ），
…
归纳可得：当等式左边的角为2kθ时，
括号内最后一项的系数为2^2k-1，倒数第二项的系数为-2^2k，第一项的系数为2k，各项系数和为：（-1）^k+1•2k
∴⑤sin10θ=cosθ（10sinθ-160sin³θ+msin⁵θ-1024sin⁷θ+nsin⁹θ）=cosθ（10sinθ-160sin³θ+672sin⁵θ-1024sin⁷θ+512sin⁹θ）
故可推测n=512，m=672，
故答案为：512，672

点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．