Question

如图，有两条相交直线成60°角的直路X′X，Y′Y，交点是O，甲、乙两人分别在OX，OY上，甲的起始位置距离O点3km，乙的起始位置距离O点1km，后来甲沿X′X的方向，乙沿Y′Y的方向，两人同时以4km/h的速度步行．
（1）求甲乙在起始位置时两人之间的距离；
（2）设th后甲乙两人的距离为d（t），写出d（t）的表达式；当t为何值时，甲乙两人的距离最短，并求出此时两人的最短距离．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：函数的性质及应用,解三角形

分析：（1）连接AB，在三角形OAB中，由OA，OB及cos∠AOB的值，利用余弦定理即可求出AB的长；
（2）设运动的时间是t小时，两点运动的路程为4tkm，表示出此时的OA和OB，再由cos∠AOB的值，利用余弦定理表示出AB的长，根据t的范围，利用二次函数的性质即可求出两人距离最短时的时间t的值．

解答： 解：（1）连接AB，如下图所示：

在△OAB中，OA=3km，OB=1km，∠AOB=60°，
根据余弦定理得：AB²=OA²+OB²-2OA•OB•cos∠AOB=9+1-3=7，
解得：AB=

7

（km）；
（2）A在O的右边，则t小时走的路为4t，OA=3-4t，OB=1+4t，
根据余弦定理得：d（t）=

48t2-24t+7

，且0≤t＜

3

4

，
设m=48t²-24t+7，可得m在[0，

3

4

）的最小值为m（

1

4

）=4，
则当t=

1

4

h时，两人的距离最短，最短距离为2．

点评：此题考查了余弦定理，特殊角的三角函数值以及二次函数的性质，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．