Question

已知函数f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+sin2x+a的最大值为1．
（Ⅰ）求常数a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换,两角和与差的正弦函数,正弦函数的单调性

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式为函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+a≤2+a=1，可得a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围，可得函数f（x）的单调递增区间．
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得 g（x）=2sin（2x+

2π

3

）-1．再根据x∈[0，

π

2

]，利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2

3

sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）+sin2x+a=

3

cos2x+sin2x+a=2sin（2x+

π

3

）+a≤2+a=1，
∴a=-1．
（Ⅱ）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z，
（Ⅲ）∴将f（x）的图象向左平移

π

6

个单位，得到函数g（x）的图象，
∴g（x）=f（x+

π

6

）=2sin[2（x+

π

6

）+

π

3

]-1=2sin（2x+

2π

3

）-1．
当x∈[0，

π

2

]时，2x+

2π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，故当2x+

2π

3

=

2π

3

时，函数f（x）取得最大值为

3

-1，
当2x+

2π

3

=

3π

2

时，函数f（x）取得最小值为-2-1=-3．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性、定义域、值域，属于基础题．