Question

如图，设直线l：y=k（x-2

2

）与抛物线C：y²=2x相交于点P、Q两点，其中Q点在第一象限，当k＞0时，过点Q作x轴的垂线交抛物线C于点R．
（Ⅰ）当∠RPQ=90°时，求k的值；
（Ⅱ）当△PQR的外接圆圆心到抛物线C的焦点F的距离d在区间[2

2

+

3

2

，2

2

+

9

2

]变化时，求该圆面积的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由直线l：y=k（x-2

2

）与抛物线C：y²=2x得：y²-

2

k

y-4

2

=0，利用∠RPQ=90°，得

2

y1+y2

×

2

y1-y2

=-1，即可求k的值；
（Ⅱ）求出PQ的中垂线方程，可得圆心坐标，进而可得△PQR的外接圆圆心到抛物线C的焦点F的距离d，求出1≤

1

k2

≤4，再求出圆的半径的范围，即可求该圆面积的取值范围．

解答： 解：（I）由直线l：y=k（x-2

2

）与抛物线C：y²=2x得：y²-

2

k

y-4

2

=0，
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则R（x₂，-y₂），y₂＞0，
∴

y1+y2= 2 k y1y2=-4 2

，
∵∠RPQ=90°，
∴

2

y1+y2

×

2

y1-y2

=-1，即y1 2-y2 2=-4，
又y1y2=-4

2?

，联立解得y1=-2，y2=2

2

，
∴k=

2

y1+y2

=

2

+1
（Ⅱ）设PQ中点M（x₀，y₀），则y₀=

1

k

，x₀=

1

k2

+2

2

，
∴PQ的中垂线方程为y-

1

k

=-

1

k

（x-

1

k2

-2

2

）
令y=0，可得x=

1

k2

+2

2

+1，
∴圆心坐标为（

1

k2

+2

2

+1，0）
抛物线C的焦点F（

1

2

，0），
∴d=

1

k2

+2

2

+

1

2

∵d在区间[2

2

+

3

2

，2

2

+

9

2

]变化，
∴1≤

1

k2

≤4，
∵|PQ|=

1+ 1 k2

|y₁-y₂|=

1+ 1 k2

•

4 k2 +16 2

，
圆心到直线kx-y-2

2

k=0的距离d′=

|k+ 1 k |

1+k2

，
∴圆的半径r²=

1

k4

+（4

2

+2）

1

k2

+4

2

+1，
∵1≤

1

k2

≤4，
∴4+8

2

≤r²≤25+20

2

，
∴圆面积的取值范围[（4+8

2

）π，（25+20

2

）π]．

点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查圆的面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．