Question

已知函数f（x）=x²+bx+c（b，c∈R﹚．
（1）|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

成立，求b²+c²的取值范围；  
（2）若f（x）在区间（0，1）上有两个零点，求证：c²+﹙1+b﹚c≤

1

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．

Answer 1

考点：简单线性规划的应用,不等式的证明

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）画出满足|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

的可行域，结合b²+c²的几何意义，可得b²+c²的取值范围．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上有两个零点，为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），即f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0，进而结合基本不等式可得c²+﹙1+b﹚c≤

1

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．

解答： 解：（1）∵|f﹙1﹚|≤|f﹙-1﹚|≤

1

4

，
∴|1+b+c|≤|1-b+c|≤

1

4

，
即

b(1+c)≤0 - 1 4 ≤1-b+c≤ 1 4

，
满足约束条件的可行域如下图所示：

又∵b²+c²表示动点（b，c）到原点距离的平方，
由图可知：当b=0，c=-

3

4

时，b²+c²取最小值

9

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，
当b=0，c=-

5

4

时，b²+c²取最大值

25

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，
故b²+c²的取值范围为[

9

16

，

25

16

]
证明：（2）f（x）=x²+bx+c的两个零点为x₁，x₂（0＜x₁＜x₂＜1），
则f（x）=（x-x₁）（x-x₂）．
又f（0）=c=x₁x₂＞0，f（1）=1+b+c=（1-x₁）（1-x₂）＞0
∴c（1+b+c）=f（0）f（1），
而0＜f（0）f（1）=x₁x₂（1-x₁）（1-x₂）≤

1

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，
即c（1+b+c）=c²+﹙1+b﹚c≤

1

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．

点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，不等式的证明，是基本不等式，线性规划与不等式证明的综合应用，综合性强，计算量大，属于难题．