Question

已知向量

m

=（sinωx+cosωx，

3

cosωx），

n

=（cosωx-2sinωx），（其中ω＞0），函数f（x）=

m

•

n

，若f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω的值，并求f（x）的最大值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是A、B、C所对的边，△ABC的面积S=5

3

，b=4，f（A）=1，求边a的长．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）根据二倍角公式和和差角公式（辅助角公式），化简函数解析式为正弦型函数的形式，进而结合f（x）相邻两对称轴间的距离为

π

2

，可得f（x）的最小正周期，求出ω的值，再由正弦函数的图象和性质得到f（x）的最大值；
（2）由f（A）=1，可得A的大小，结合△ABC的面积S=5

3

，可得c值，进而由余弦定理可得边a的长．

解答： 解：（1）∵f(x)=cos2ωx-sin2ωx+2

3

sinωxcosωx=cos2ωx+

3

sin2ωx=2sin(2ωx+

π

6

)…（3分）
由题意得T=π，
又∵ω＞0，
∴ω=1，
∴f(x)=2sin(2x+

π

6

)…（4分）
当sin(2x+

π

6

)=1时，f（x）有最大值为2；…（6分）
（2）∵f(A)=2sin(2A+

π

6

)=1，
∴sin(2A+

π

6

)=

1

2

，
∵0＜A＜π…（7分）
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

…（8分）
S=

1

2

bcsin

π

3

=5

3

，c=5…（9分）
由余弦定理得：a²=16+25-2×4×5cos

π

3

=21，
∴a=

21

…（12分）

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，平面向量数量积的运算，余弦定理，三角形面积公式，是三角函数与向量的综合应用，难度中档．