Question

给定函数f（x）=x-

1

x

．
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，+∞）的单调性，并给出证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先判断函数的定义域是否关于原点对称，然后利用奇偶函数的定义判断f（x）与f（-x）的关系；
（Ⅱ）先求出函数定义域为：x∈（-∞，0）∪（0，+∞），然后用定义证明当x＞0时，函数为增函数．

解答： 解：（Ⅰ）函数的定义域为：x∈（-∞，0）∪（0，+∞）
f（-x）=-x+

1

x

=-f（x），函数是奇函数；
（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数；
证明：任取0＜x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=（ x₁-

1

x1

）-（x₂-

1

x2

）=

(x1x2+1)(x1-x2)

x1x2

＜0，即
∵0＜x₁＜x₂＜0，∴f（x₁）＜f（x₂），∴函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性的判断与证明；注意，判断函数的奇偶性时要首先判断函数定义域是否关于原点对称．