Question

已知两个函数f（x）=8x²+16x-k（k∈R），g（x）=2x³+5x²+4x
（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，求k的取值范围；
（2）若?x₁，x₂∈[-3，3]都有f（x₁）≤g（x₂）成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，f（x）-g（x）≤0恒成立，利用分类参数法，可得k的取值范围；
（2）分别利用二次函数的图象与性质与导数求出两个最值，若?x₁，x₂∈[-3，3]，使f（x₁）≤g（x₂），只需在∈[-3，3]上f（x）_max≤g（x）_min即可，列不等式求解即可得到答案．

解答： 解：（1）若?x∈[-3，3]都有f（x）≤g（x）成立，
即f（x）-g（x）=8x²+16x-k-（2x³+5x²+4x）≤0恒成立，
即-2x³+3x²+12x≤k恒成立，
令h（x）=-2x³+3x²+12x，
则k≥h（x）_max，
∵h′（x）=-6x²+6x+12=-6（x+1）（x-2），
令h′（x）=0，得x=-1，或x=2，
在x∈[-3，-1）∪（2，3]，h′（x）＜0，[-3，-1）与（2，3]是h（x）单调递减区间．
在x∈（-1，2），h′（x）＞0，（-1，2]是h（x）单调递减区间．
所以h（x）的极大值为h（2）=20，
又h（-3）=45，所以h（x）_max=45，
故k≥45
（2）∵g（x）=2x³+5x²+4x，
∴g′（x）=6x²+10x+4=2（x+1）（3x+2），
令g′（x）=0，得x=-1，或x=-

2

3

，
在x∈[-3，-1）∪（-

2

3

，3]，g′（x）＞0，[-3，-1）与（-

2

3

，3]是g（x）单调递增区间．
在x∈（-1，-

2

3

），g′（x）＜0，（-1，-

2

3

]是g（x）单调递减区间．
所以g（x）的极小值为g（-

2

3

）=-

28

27

，
又g（-3）=-21，所以g（x）_min=-21，
由函数f（x）=8x²+16x-k的图象是开口朝上，且以直线x=-1为对称轴的抛物线，
故当x=3时，f（x）_max=120-k，
∴120-k≤-21，
解得：k≥141

点评：本题考查函数的最值及应用，将问题转化为最值问题是关键．考查逻辑推理、转化计算等能力．