Question

已知f（x）=3x²-2x+3，g（x）=a•e^x，若存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x），求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：函数的性质及应用

分析：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x²-2x+3=a•e^x，变形为a=

3x2-2x+3

ex

=h（x），x∈（0，2]，利用导数与其单调性极值与最值即可得出．

解答： 解：存在x∈（0，2]，使g（x）=f（x）?存在x∈（0，2]，3x²-2x+3=a•e^x，
变形为a=

3x2-2x+3

ex

=h（x），x∈（0，2]，
h′（x）=

-(3x-5)(x-1)

ex

，
令h′（x）=0，解得x=1或

5

3

．
列表如下：

x	（0，1）	1	(1， 5 3 )	5 3	( 5 3 ，2]
h′（x）	-	0	+	0	-
h（x）	单调递减	极小值	单调递增	极大值	单调递减

由表格可知：
当x=1时，h（x）取得极小值，h（1）=

4

e

，又h（2）=

11

e2

，h（1）＜h（2），∴当x=1时，函数h（x）取得最小值

4

e

．当x=

5

3

时，h（x）取得极大值，h（

5

3

）=

8

3 e5

，又h（0）=3，h（

5

3

）＜h（0），∴函数h（x）＜3．
综上可得：函数h（x）的取值范围是：[

4

e

，3)．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了存在性问题的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．