Question

设a是实数，定义在R上的函数f（x）=a-

2

2x+1

．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）证明：对于任意实数a，f（x）是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据定义在R上的奇函数f（x）图象必过原点，即f（0）=0，可求出a的值；
（2）设两个实数数x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，将f（x₁）与f（x₂）作差变形整理，再讨论得f（x₁）＜f（x₂），由此即可得到f（x）=a-

2

2x+1

在区间（0，2）上为减函数．

解答： 解：（1）∵定义在R上的奇函数f（x）图象必过原点，
∴f（0）=a-1=0，
解得：a=1，
当a=1时，f（x）=

2x-1

2x+1

为奇函数；
证明：（2）设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，则
f（x₁）-f（x₂）=（a-

2

2x1+1

）-（a-

2

2x2+1

）
=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，可得2x1-2x2＜0，
又∵2^x＞0，得2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
由此可得，对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评：本题通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题．