Question

已知各项均为正数的等差数列{a_n}满足：a_na_n+1=4n²-1（n∈N^*），各项均为正数的等比数列{b_n}满足：b₁+b₂=3，b₃=4．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）若数列{c_n}满足：c_n=

an

bn

，其前n项和为S_n，证明1≤S_n＜6．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列、等比数列的通项公式，即可求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）利用错位相减求解数列的和，可得1≤S_n＜6．

解答： 解：（1）设{a_n}的公差为d，{b_n}的公比为q，则依题意有a₁＞0，b₁＞0，d＞0，q＞0

a1a2=a1(a1+d)=3 a2a3=(a1+d)(a1+2d)=15 b1+b2=b1+b1q=3 b3=b1q2=4

解得a₁=1，b₁=1，d=2，q=2．…（4分）
所以a_n=2n-1，b_n=2^n-1．…（6分）
（2）cn=

an

bn

=

2n-1

2n-1

．…（7分）
设S_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

2S_n=2+3+

5

2

+…+

2n-1

2n-2

，
两式相减得S_n=2+2+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-2

-

2n-1

2n-1

=6-

2n+3

2n-1

＜6…（11分）
又因为Sn-Sn-1=cn=

2n-1

2n-1

＞0，所以S_n＞S_n-1，所以S_n≥S₁=1…（13分）
综上  1≤S_n＜6得证．…（14分）

点评：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，考查错位相减求解数列的和，这是数列求和方法的难点所在．